【Leetcode】【python】Maximum Subarray 最大子序和

题目大意

由 N 个整数元素组成的一维数组 (A[0], A[1],…,A[n-1], A[n])，这个数组有很多连续子数组，那么其中数组之和的最大值是什么呢？

子数组必须是连续的。

不需要返回子数组的具体位置。
数组中包含：正整数，零，负整数。

解题思路

Kadane Algorithm

官方标签为动态规划，这种算不算正经动态规划待定。
可以理解为：

dp[i] = dp[i-1] + s[i] (dp[i-1] >= 0)
dp[i] = s[i] (dp[i-1] < 0)

一旦前面总和<0,说明前面的加进去也是没用的，所以全部抛弃

list    -2 1 -3 4 -1 2 1 -5 4
current -2 1  0 4  3 5 6 1  5
m		-2 1  1 4  4 5 6 6  6 

动态规划

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if not nums:
            return 0
        dp = [nums[0] for i in range(len(nums))]
        max_result = nums[0]  # 最开始的是nums[0]，后面如果是负数肯定更小，如果是整数肯定变大
        for i in range(1, len(nums)):
            if dp[i-1] < 0:
                dp[i] = nums[i]
            else:
                dp[i] = dp[i-1] + nums[i]
            if max_result < dp[i]:
                max_result = dp[i]
        return max_result

直接方法

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if not nums:
            return 0
        current = nums[0]
        m = current
        for i in range(1, len(nums)):
            if current < 0:
                current = 0
            current += nums[i]
            m = max(current, m)
        return m

分治法

对于任何一个array来说，有三种可能：
　　　　　　1。它的maximum subarray 落在它的左边；
　　　　　　2。maximum subarray 落在它的右边；
　　　　　　3。maximum subarray 落在它的中间。

对于第一，二种情况，利用二分法就很容易得到，base case 是如果只有一个数字了，那么就返回。

对于第三种情况，如果落在中间，那么我们要从左右两边返回的两个 mss 中，挑出一个大的，再从 （左右中大的值） 和 （左+右）中挑出一个大的

https://blog.csdn.net/u014235934/article/details/51996493

而且对于左半部分或者右半部分，上述结论也成立，利用这特性，可以写出相应的递归，递归结束的条件是当只有一个元素时，判断这个元素是否大于零，大于零便返回这个数，否则返回零。
然后求出左边最大值，右边最大值和横跨两边的最大值，返回这三个值中的最大值

class Solution(object):
    def maxSubArrayHelper(self,nums, l, r):
        if l > r:
            return -2147483647
        m = (l+r) / 2
        
        leftMax = sumNum = 0
        for i in range(m - 1, l - 1, -1):  # 从中间向左遍历
            sumNum += nums[i]
            leftMax = max(leftMax, sumNum)
        
        rightMax = sumNum = 0
        for i in range(m + 1, r + 1):  # 从中间向右遍历
            sumNum += nums[i]
            rightMax = max(rightMax, sumNum)
            
        leftAns = self.maxSubArrayHelper(nums, l, m - 1)
        rightAns = self.maxSubArrayHelper(nums, m + 1, r)
            
        return max(leftMax + nums[m] + rightMax, max(leftAns, rightAns)) # 返回三个中的最大值
    
    def maxSubArray(self, nums):
        return self.maxSubArrayHelper(nums, 0, len(nums) - 1)

总结

该题分治法效率较低